Makalah Logaritma

BAB I PENDAHULUAN.

Latar Belakang Masalah

Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanyasebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real,kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadididasarkan pada penalaran

Penalaran yang logis atas sistem matematis.Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas realitakehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasidan bagian matematik ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan.Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika.Dari latar belakang masalah di atas maka penulis akan menyusun salahsatu pembahasan matematika yaitu tentang logaritma beserta contoh

         

Rumusan Masalah

1.    Pengertian dan seputaran logaritma logaritma2.

2.    Mencari nilai logaritma3.

3.    Rumus logaritma4.

4.    Kegunaan logaritma5.

5.    Kalkulus6.

Penghitungan nilai logaritma.

Tujuan

Untuk memenuhi tugas yang diberikan oleh guru serta untuk menambahpengetahuan dalam memahami logaritma

BAB II PEMBAHASAN.

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. 

Bentuk Umum Logaritma

 a^x = b ↔ x = ^alog b

Syarat b > 0 , a > 0 dan a ≠ 1

Keterangan :

 a → bilangan pokok atau basis logaritma.

b → hasil pemangkatan atau bilangan yang dilogaritma

x → bilangan pangkat atau hasil logaritma

Rumus dan identitas Logaritma

1.) ^alog a = 1

Contoh :

²log 2 = ²log 2¹ = 1

log 10 = log 10¹ = 1

2.) ^alog 1 = 0

Contoh :

²log 1 = ²log 2⁰ = 0

⁴log 1 = ⁴log 4⁰ = 0

Rumus dasar logaritma:

b^c = a ditulis sebagai ^blog = c (b disebut basis)

Beberapa orang menuliskan

^blog a = c sebagai log _ba = c.

Basis

Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10,e ≈ 2.71828... dan 2.

Notasi

1.    Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi

2.     ^blog a daripada log_ba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggrismenggunakan notasi log_ba

3.    Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti ^elog a log a sebagai ganti   ¹⁰log a dan ld a sebagai ganti ²log a.

4.    Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.

5.    Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC,LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.

6.    Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada ¹⁰log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada ^elog x.

Mencari Nilai Logaritma

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

Tabel , Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

Rumus Logaritma

 

Berikut ini adalah contoh-contoh soal logaritma dalam pelajaranMatematika SMA dan jawabannya/ penyelesaiannya/ penjelasannya.Yang perlu diperhatikan adalah bagaimana kita mengerjakan soal-soal logaritma dengan teliti step by step. Gambar di atas adalah sifat-sifat dasar logaritma. Semoga bisa memberi sedikit pencerahan untuk semua yang inginbelajar materi logaritma ini.

1.    Jika log 2 = a maka log 5

adalah …

      Jawab : log 5 = log (10/2) = log 10– log 2 = 1– a (karena log 2=a)

2. √15 + √60-√27 = ...

Jawab :

√15 + √60-√27

= √15 + √(4x15)-√(9x3)

= √15 + 2√15-3√3

= 3√15-3√3

= 3(√15-√3)

3.   log 9 per log 27 =...

             Jawab :

log 9 / log 27= log 3² / log 3³= (2. log 3) / (3 . log 3) <-- ingat sifat log a^n = n. log a= 2/3

 

4.√5-3 per √5 +3 = ...

      Jawab :

    (√5-3)/(√5 + 3)

                = (√5-3)/(√5 + 3) x (√5-3)/(√5- 3) <-- kali akar sekawan

= (√5- 3)²/(5 - 9)

= -1/4 (5 -6√5 + 9)

        = -1/4 (14 -6√5)

= -7/2 + 3/2√5

= (3√5- 7)/2

5.Jika a log 3 = -0,3 tunjukkan bahwa a =1/81 3√9

Jawab :

ª log 3         = -0,3

log 3/log a  = -0.3

log a                = -(10/3)log 3

log a                = log [3^(-10/3)]

a               = 3^(-10/3) = 3^(-4) (3²)^(⅓ )

        a            = 1/81 3√9

6. log (3a -√2) dengan basis 1/2. Tentukan nilai a!

Jawab :

        [log (3a -√2)]/log(0.5) =-0.5

log (3a -√2) = -0.5 log 0.5 = log (1/√½)

                3a -√2       = 1/√½

                a               = (2/3) √2

Kegunaan Logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yangpangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritmasering digunakan sebagai solusi dari integral.Dalam persamaan bⁿ= x, b dapat dicari dengan pengakaran,  n dengan logaritma, dan x denganfungsi eksponensial. 

1.Sains dan teknik 

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikandengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihatdiskala logaritmik. 

1.    Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalamkimiauntuk mengekspresikankonsentrasiion hidronium(pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium padaairadalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

2.    Satuanbel(dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan(rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan.Kebanyakan digunakan dalam bidangtelekomunikasi, elektronik,danakustik.Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell,seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuandesibel(dB), yang sama dengan0.1 bel, lebih sering digunakan.

3.     Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

4.    Dalam astronomi,magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Penghitungan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal kepangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma:

Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlahtersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan,logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

 

dimana In logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e, jika b=c maka rumus diatas dapat disederhanakan menjadi

integral fungsi logaritma adalah

integral logaritma berbasis e adalah

sebagai contoh carilah turunan

Penghitungan Nilai Logaritma

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

 

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan,pengkalian, dan pembagian.

BAB III PENUTUPAN.

 Kesimpulan

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. 

Rumus dasar logaritma:

b^c = a ditulis sebagai ^blog a = c (b disebut basis)Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan: Tabel,Kalkulator(yang sudah dilengkapi fitur log).

~Wassalam~